Solução do grupo de problemas C

 Solução do problema C1
1º passo: passar por r um plano auxiliar vertical  h≡r1, e determinar a recta i de intersecção de com , Fi está no cruzamento de f com f assim como Hi está no cruzamento de h com h.
2º passo: dados os traços da recta i, Fi e Hi, traçar a referida recta.

Solução do problema C2
1º passo: traçar o plano vertical  que passa pela recta r, h≡r1 e f é perpendicular ao eixo x;
2º passo: traçar por P uma recta pertencente ao plano , e determinar o ponto de intersecção dessa recta o plano ; podemos traçar por P três rectas diferentes: uma fronte-horizontal, outra oblíqua e finalmente outra de perfil. A fronte-horizontal h parece-nos a mais simples; o ponto de intersecção desta recta com o plano  é o ponto J, cuja projecção J1 estará no cruzamento de h com h1. J2 estará sobre h2 no cruzamento da perpendicular ao eixo x tirada por J1;
3º passo: a intersecção de  com a é a recta i cuja projecção i2 cruza r2 no ponto I2, I1 está sobre r1.

Solução do problema C3
1º passo: passar pela recta de perfil um plano auxiliar oblíquo para evitar assim a falta de informação do plano de perfil. Vamos considerar o plano auxiliar  definido pelas rectas de nível a e b que passam pelos pontos A e B.

2º passo: determinar a recta de intersecção do plano  com o plano . Para tal vamos usar dois planos de nível auxiliares,  e ’, que passam respectivamente pelas rectas a e b. Seja o plano  de nível que passa por a, f≡a2; a intersecção de  com  é a, a intersecção de  com  é j, J2≡f≡a2 e passa por D2, a projecção j1 passa por D1 e é paralela à recta n de  que passa por C e pelo ponto N de r.

3º passo: o ponto de intersecção de a com j é um ponto da intersecção dos três planos ,  e , designemo-lo por I; usando um segundo plano auxiliar ’ que passa por b, a intersecção de ’ com  é b, a intersecção de ’ com  é outra recta de nível j’ e como pertence a  é paralela a j.

4º passo: o ponto de intersecção de b com j’ é um ponto da intersecção dos três planos ,  e , designemo-lo por I’; finalmente unindo ordenadamente as projecções de I com as de I’ determinamos as projecções de W.

Solução do grupo de problemas B

Solução do problema B1

O método geral consiste em determinar os traços de duas rectas do plano.

1º passo: traçar uma recta de nível n do plano, concorrente com as duas dadas nos pontos A e B; determinar o traço frontal da recta n, F_n

 2º passo: determinar os traços do plano, traçando f_a por W e F_n e h_a por W e paralelo a n₁.

 Solução do problema B2

1º passo: Comecemos por melhorar a visibilidade dos planos traçando os triângulos definidos pelos respectivos pontos.

 2º passo: considerar um plano auxiliar de nível p que passa por C. As intersecções de cada um dos planos com p é uma recta de nível, sejam elas as rectas n e n’. Determinar o ponto I de intersecção de n com n', este ponto pertence aos três planos, portanto é um ponto da intersecção dos planos dados.

3º passo: Repetir o segundo passo usando o plano auxiliar p'. As rectas de intersecção de cada um dos planos dados com p' são m e m', que se cruzam em I'. Traçar a recta de intersecção dos planos dados unindo as projecções homónimas de I e I'.

 Solução do problema B3

O ponto K pertence a ambos os traços do plano.

1º passo: Traçar as projecções KL₁ e KL₂ do segmento KL; traçando a projecção frontal n₂ da recta de nível n que passa por M₂, determinamos N₂ e N₁ e portanto a projecção n₁ da recta de nível. Determinar o traço frontal da recta n, F_n

2º passo: unindo K com F_n obtemos f_a. h_a é paralelo a n₁, projecção horizontal duma recta de nível do plano.

Solução do grupo de problemas A

Solução do problema A1

O método geral consiste em traçar uma recta de coordenada constante, pertencente ao plano e sobre ela marcar a outra coordenada.

1º passo: traçar uma recta de nível com 3 cm de cota, a projecção frontal é paralela ao eixo x do qual dista 3 cm, e procurar dois pontos desta projecção comuns com o plano; são eles os pontos de intersecção com os segmentos [B₂C₂] e [A₂B₂];

2º passo: sobre [B₁C₁] e [A₁B₁] marcamos as projecções horizontais dos referidos pontos. Unindo estas projecções obtemos a projecção horizontal da recta de nível traçada no inicio.

3º passo: sobre a projecção horizontal da recta de nível, n₁ marcar P₁ com -4 cm de afastamento. P₂ situa-se sobre n₂ e na perpendicular ao eixo x que passa por P₁.

Recapitulando:

O ponto P com 3 cm de cota e -4 de afastamento pertence ao plano ABC porque pertence à recta de nível do plano com 3 cm de cota; a qual pertence ao plano porque tem dois pontos do plano, R e S, um ponto de cada um dos segmentos AB e BC os quais pertencem ao plano porque cada um deles tem dois pontos do plano. Finalmente os pontos A, B e C pertencem ao plano porque, conforme o enunciado, o plano é definido por eles.

Solução do problema A2

Neste problema temos de determinar o ponto P primeiro e depois traçar a recta de perfil pertencente ao plano. Assim podemos considerar que a solução decorre em 4 passos, sendo os 3 primeiros para determinar o ponto P e o 4º para representar a recta de perfil.

1º passo: traçar a recta de frente f com 3 cm de afastamento, portanto f₁ é paralela ao eixo x do qual dista 2 cm. A projecção f₂ passa por R₂ e terá de ser paralela a outra recta de frente f’ do plano, por exemplo a definida pelos pontos A e S.

2º passo: por R₂ traçamos f₂ paralela a f’₂.

3º passo: sobre f₂ marcar P₂ com -3 cm de cota. P₁ situa-se sobre f₁ e na perpendicular ao eixo x que passa por P₂.

4º passo: por P₁P₂ traçar a recta de perfil p que para que fique definida como recta do plano é preciso identificar outro ponto, por exemplo o ponto W, pertencente à recta de perfil e à recta r dada.

Solução do problema A3

Tal como no problema anterior temos de determinar primeiro o ponto P, representar a recta e determinar os traços da recta, através dos traços do plano, pois como a recta pertence ao plano os traços da recta estarão sobre os traços homnimos do plano.

1º passo: traçar uma recta de frente com 3 cm de afastamento, portanto f₁ é paralela ao eixo x do qual dista 3 cm; determinamos assim um ponto de f comum com o plano, Q, no cruzamento de f com o segmento KQ. Procuramos um 2º ponto de f comum com o plano, poderia ser um ponto de KM, mas K₁M₁ cruza com f₁ fora dos limites do desenho. Então podemos escolher uma recta de nível n que passa por M.

2º passo: por M₂ traçar n₂ e determinar R₂ sobre K₂L₂, por M₁ e R₁ traçar n₁ e determinar S₁ sobre f;

3º passo: agora já podemos traçar f₂, unindo Q₂S₂. Sobre f₂ marcar P₂ com -1 cm de cota;

4º passo: P₁ situa-se sobre f₁ e na perpendicular ao eixo x que passa por P₂. A recta p de perfil passa por P₁P₂. Para determinar os traços da recta basta determinar os traços do plano.

5º passo: determinar F_n, traço frontal da recta n, f_a passa por K e F_n, h_a passa igualmente por K e é paralela a n₁. Os traços da recta de perfil estão no cruzamento dos traços do plano com as projecções da recta.

Problemas

Vou propor uma sequência de problemas subordinados a temas.

Todos os problemas têm um enunciado gráfico e um pequeno texto descritivo. Assim todos os enunciados gráficos podem ser copiados para uma folha de papel, com os elementos na mesma posição relativa, sem ser necessário considerar as distâncias. Os desenhos são copiados de modo a serem parecidos, sem necessidade de serem iguais. Depois o estudante deverá ensaiar a solução e compara-la com a solução comentada que publicarei mais tarde. Estarei sempre disponível para esclarecer todas as questões que me coloquem.

Recomendo o uso de régua, esquadro e um lápis B ou lapiseira 0,5mm 2B. A borracha poderá ser do tipo rotring ou equivalente. De todos os elementos necessários para a resolução de problemas de geometria descritiva o mais importante é a vontade de resolver problemas. De inicio é preciso muita vontade, depois mais tarde a vontade surge sem dar-mos conta.

O 1º tema é a Incidência: incidência de pontos com planos; incidência de dois planos não paralelos e incidência de um plano com uma recta exterior não paralela.

O que incide é o que está sobre ou pertence.

Problemas de Incidência de pontos com planos são os problemas de determinar as projecções de um ponto que pertence a um plano e tem determinadas características.

Problemas de incidência de dois planos são os problemas de determinar os pontos comuns ou a recta de intersecção dos planos (claro que planos paralelos não são incidentes, por isso excluímos).

Problemas de incidência de recta com plano são os problemas de determinar o ponto comum ou de intersecção (claro que rectas paralelas não são incidentes e as rectas do plano, não tem apenas um ponto comum, têm todos, por isso excluímos).

Todos os problemas de incidência são semelhantes mas os de cada um dos grupos acima referidos são praticamente iguais. O importante na resolução de problemas é perceber as igualdades e as semelhanças entre problemas.

Problema A1

Determinar as projecções do ponto P com 3 cm de cota e -4 de afastamento, sabendo que P pertence ao plano abaixo representado pelos pontos A, B e C.

 

Problema A2

Determinar as projecções da recta de perfil p que passa por P com 2 cm de afastamento e -3 cm de cota, sendo p e P pertencentes ao plano alfa abaixo representado pela recta r e pelo ponto A.

Problema A3

Determinar os traços da recta p de perfil que passa pelo ponto P com 3 cm de afastamento e -1 cm de cota e pertence ao plano abaixo representado pelos pontos K, L e M.

Problema B1

Determinar os traços do plano alfa definido pelas rectas a e b, abaixo representadas;

Problema B2

Determinar a recta i de intersecção do plano alfa com o plano beta, abaixo representados. O plano alfa é definido pelos pontos A, B e C; o plano beta é definido pelos pontos K, L e M.

Problema B3

Determinar as projecções do ponto W com 4 cm de afastamento, pertencente ao beta₂₄ e ao plano a abaixo representado pelos pontos A, B e C.

Problema C1

Determinar o ponto de intersecção da recta r com o plano a abaixo representados. O plano é definido pelos seus traços.

Problema C2

Determinar o ponto de intersecção da recta r com o plano a abaixo representados. O plano é definido pelo eixo x e pelo ponto P.

Problema C3

Determinar o ponto W de intersecção da recta de perfil definida por A e B com o plano oblíquo beta abaixo representado pela recta r e pelo ponto C.

Biografia

Gaspard Monge, Conde de Péluse

Matemático francês e funcionário público

Nasceu a 10 de Maio de 1746, Beaune, França e faleceu a 28 de Julho de 1818, Paris

Matemático francês que inventou a geometria descritiva, o estudo dos princípios matemáticos de representação de objetos tridimensionais em um plano bidimensional, não mais uma disciplina ativa em matemática, o tema é parte de desenho mecânico e arquitectónico. Ele foi uma figura proeminente durante a Revolução Francesa, ajudando a estabelecer o sistema métrico e a "École Polytechnique". Foi tornado Conde em 1808 por Napoleão I.
Monge foi educado nas escolas do Oratório em Beaune e em Lyon, onde por um tempo, aos 16 anos ele era um professor de física. Ele fez um plano em grande escala de Beaune, durante uma visita em 1762, elaborou métodos de observação e construiu os instrumentos necessários ao levantamento. Impressionado com o plano, um oficial militar recomenda Monge ao comandante da escola militar aristocrática de Mézières, onde foi aceite como desenhista.
Uma nova oportunidade para Monge mostrar a sua habilidade como desenhista ocorreu quando ele foi convidado para determinar a colocação de armaa para uma fortaleza proposta. Naquela época, tal operação podia ser realizada apenas por um processo longo de aritmética, mas Monge criou um método geométrico que lhe permitiu resolver o problema tão rapidamente que o comandante, a princípio se recusou a receber a sua solução. Em análise posterior cuidadosa, o método de Monge foi classificado um segredo militar. Continuando suas pesquisas em Mézières, Monge desenvolveu seu método geral de aplicação da geometria aos problemas de construção; este assunto mais tarde ficou conhecido como geometria descritiva e deu um estímulo importante para a redescoberta da geometria projetiva.
Entre 1768 e 1783 Monge ensinou física e matemática em Mézières. Durante este período, as suas principais áreas de pesquisa foram a geometria infinitesimal (aplicações do cálculo à geometria) e a teoria das equações diferenciais parciais. Solicitado pelo secretário da Academia Francesa de Ciências, Marie-Jean Condorcet, ele escreveu um artigo discutindo o problema da terraplenagem (composto em 1776 e reformulado em 1781), no qual ele usou o cálculo para determinar a curvatura de uma superfície. O papel é de particular importância não para o problema prático que tratava, mas por causa de sua discussão sobre a teoria de superfícies e sua introdução de conceitos como a congruência de linhas retas e linhas de curvatura. Seu trabalho em equações diferenciais parciais, caracterizado por seu ponto de vista geométrico e, em parte inspirada pela obra de Joseph-Louis Lagrange, levou ao desenvolvimento de novos métodos extremamente fecundo. Em 1780 Monge foi eleito associado da Academia de Ciências.

Oficialmente deixa Mézières, no final de 1783. Monge torna-se cada vez mais ativo nos assuntos públicos, em Paris. Entre 1783 e cerca de 1789 ele era um examinador de cadetes da Marinha, serviu no comité de pesos e medidas onde estabelece o sistema métrico em 1791; 1792-1793 ele foi ministro da Marinha e colónias e teve a oportunidade de dar as boas-vindas ao jovem oficial de artilharia que vem a se o Imperador Napoleão I. Em 1795 participou na fundação do Instituto Nacional de França. Embora por vezes, durante a Revolução Francesa, a sua posição seja precária, Monge continuou a ser influente. Quando foi feito um apelo aos cientistas para ajudar na produção de materiais para a defesa nacional, ele supervisionou operações de fundição e escreveu manuais de siderurgia e fabricação do canhão. Em 1794-1795 lecionou por um curto período na "École Normale" (mais tarde restabelecida como  "École Normale Supérieure"), onde teve a permissão, pela primeira vez, de dar uma palestra sobre os princípios da geometria descritiva que ele havia desenvolvido em Mézières.
Particularmente importante para a matemática foi o seu papel ativo na fundação da École Polytechnique, que originalmente era para formar engenheiros e onde Lagrange foi um dos professores. Monge era um administrador e um professor estimado de descritiva, analítica e geometria diferencial. Uma vez que não estavam disponíveis textos, as suas palestras foram editados e publicados para uso dos alunos. Em "Géométrie Descritiva" (1799), livro baseado nas suas palestras na École Normale, ele desenvolveu seu método descritivo para representar um sólido do espaço tridimensional num plano bidimensional, traçando as projeções - conhecidas como planos, elevações, e traços - do sólido numa folha de papel. Feuilles d'analyse Appliquée à la géométrie (1801, "Análise Aplicada à Geometria") era uma versão expandida de suas palestras sobre geometria diferencial, uma edição posterior incorporou a sua Application de l'algèbre à la géométrie (1805; "Aplicações da álgebra à geometria "), como Application de l'analyse à la géométrie (1807;" Aplicações da análise à geometria "). O desenho de engenharia foi revolucionado pelos seus novos procedimentos. Além disso, a educação matemática avançou significativamente porque os seus textos e palestras tinham sucesso popular. Muitos matemáticos foram influenciados por sua obra, nomeadamente Jean-Victor Poncelet e Michel Chasles.
Monge também estava interessado na mecânica e na teoria de máquinas e fez contribuições para a física e química. Em 1796 ele tornou-se membro da Comissão de Ciências e Artes em Itália e foi enviado à Itália para escolher as pinturas e estátuas que foram tomadas para ajudar a financiar as campanhas militares de Napoleão; muitas destas obras de arte foram para o Museu do Louvre. De 1798 a 1801, ele acompanhou Napoleão ao Egito, e no Cairo, ele ajudou a criar o Instituto do Egito, uma organização cultural modelada após o Instituto Nacional de França.
Com a queda do poder de Napoleão em 1814, os Bourbons privaram Monge, um bonapartista, de todas as suas honras e em 1816 excluíram-no da lista de membros do Instituto reconstituído.
(tradução da Enciclopédia Britânica-online, Fev 2009)

1ª pag. do tratado de "Geometria Descritiva" publicado por Gaspard Monge em 1799, Paris, França.